ГДЗ з алгебри 8 клас Істер, вправа №80

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Умова вправи № 80

За 4 циркулі й 3 лінійки заплатили 195 грн. Після того як циркуль подорожчав на 10 %, а лінійка подешевшала на 20 %, один циркуль і одна лінійка разом стали коштувати 53 грн. Якою була початкова вартість циркуля і якою — лінійки?

Розв'язок вправи № 80

Короткий розв'язок

Нехай $ц$ — початкова вартість циркуля, $л$ — початкова вартість лінійки.

\begin{cases} 4ц + 3л = 195, \\ ц(1+0.1) + л(1-0.2) = 53 \end{cases} \implies \begin{cases} 4ц + 3л = 195, \\ 1.1ц + 0.8л = 53 \end{cases}

\begin{cases} 4ц + 3л = 195, \\ 11ц + 8л = 530 \end{cases} \implies \begin{cases} 32ц + 24л = 1560, \\ -33ц - 24л = -1590 \end{cases}

-ц = -30 \implies ц = 30

4(30) + 3л = 195 \implies 120 + 3л = 195 \implies 3л = 75 \implies л = 25

Відповідь: початкова вартість циркуля — 30 грн, а лінійки — 25 грн.

Детальний розв'язок з поясненнями

Ключ до розв'язання: для розв'язання задачі потрібно скласти систему з двох рівнянь. Перше рівняння описує початкову покупку, а друге — покупку після зміни цін. Важливо правильно виразити нові ціни через початкові, враховуючи відсоткові зміни.

1. Визначимо змінні та складемо перше рівняння.

Нехай $ц$ — початкова вартість одного циркуля (у грн), а $л$ — початкова вартість однієї лінійки (у грн).

За першою умовою, 4 циркулі та 3 лінійки коштували 195 грн. Складаємо перше рівняння:

4ц + 3л = 195

2. Визначимо нові ціни та складемо друге рівняння.

Ціна циркуля зросла на 10%, тобто нова ціна становить $100\% + 10\% = 110\%$ від початкової. У вигляді десяткового дробу це $1.1ц$ .

Ціна лінійки зменшилася на 20%, тобто нова ціна становить $100\% - 20\% = 80\%$ від початкової. У вигляді десяткового дробу це $0.8л$ .

За другою умовою, один новий циркуль і одна нова лінійка разом коштують 53 грн. Складаємо друге рівняння:

1.1ц + 0.8л = 53

3. Розв'яжемо отриману систему рівнянь.

Маємо систему:

\begin{cases} 4ц + 3л = 195, \\ 1.1ц + 0.8л = 53 \end{cases}

Щоб позбутися десяткових дробів, помножимо друге рівняння на 10:

11ц + 8л = 530

Тепер розв'яжемо систему методом додавання:

\begin{cases} 4ц + 3л = 195, \\ 11ц + 8л = 530 \end{cases}

Помножимо перше рівняння на 8, а друге на -3, щоб коефіцієнти при $л$ стали протилежними (24 та -24):

8 \cdot (4ц + 3л) = 8 \cdot 195 \implies 32ц + 24л = 1560

-3 \cdot (11ц + 8л) = -3 \cdot 530 \implies -33ц - 24л = -1590

Додамо отримані рівняння:

(32ц + 24л) + (-33ц - 24л) = 1560 - 1590

-ц = -30 \implies ц = 30

4. Знайдемо початкову вартість лінійки.

Підставимо знайдене значення $ц=30$ у перше рівняння початкової системи:

4(30) + 3л = 195

120 + 3л = 195

3л = 195 - 120

3л = 75 \implies л = 25

Відповідь: початкова вартість циркуля становила 30 грн, а лінійки — 25 грн.